Noncrossing sets and a Graßmann associahedron

We study a natural generalization of the noncrossing relation between pairs of elements in [n] to k-tuples in [n]. We show that the flag simplicial complex on ( [n] k ) induced by this relation is a regular, unimodular and flag triangulation of the order polytope of the poset given by the product [k]× [n− k] of two chains, and it is the join of a simplex and a sphere (that is, it is a Gorenstein triangulation). This shows the existence of a flag simplicial polytope whose Stanley-Reisner ideal is an initial ideal of the Graßmann-Plücker ideal, while previous constructions of such a polytope did not guaranteed flagness. The simplicial complex and the polytope derived from it naturally reflect the relations between Graßmannians with different parameters, in particular the isomorphism Gk,n ∼= Gn−k,n. This simplicial complex is closely related to the weak separability complex introduced by Zelevinsky and Leclerc. Résumé: Nous étudions une généralisation naturelle de la relation entre les paires d’éléments non-croisés de [n] et les k-uplets de [n]. Nous montrons que le complexe simplicial de drapeau sur ( [n] k ) induit par cette relation est une triangulation régulière, unimodulaire et de drapeau du polytope d’ordre de l’ensemble partiellement ordonné obtenu par le produit [k] × [n − k] des deux chaı̂nes, et c’est la jointure d’un simplexe et une sphère (c’est-à-dire qu’elle est une triangulation de Gorenstein). Cela montre l’existence d’un polytope simplicial de drapeau dont l’idéal de Stanley-Reisner est un idéal initial de l’idéal de Graßmann-Plücker, tandis que les constructions précédentes d’un tel polytope ne garantissaient pas la propriété de drapeau. Le complexe simplicial et le polytope qui en découle reflètent naturellement les relations entre les Grassmanniens avec différents paramètres, en particulier l’isomorphisme Gk,n ∼= Gn−k,n. Ce complexe simplicial est étroitement lié au complexe de séparabilité faible étudié par Zelevinsky et Leclerc.